Тригонометрические неравенства под знаком модуля

Решение неравенств с модулем

тригонометрические неравенства под знаком модуля

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные. Решение неравенств с модулем. Решение нестрогих неравенств двух типов представлено в таблице. Аналогично решаются соответствующие строгие. Download "Тригонометрические уравнения с модулем" тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся под знаком модуля.

Процесс решения можно сократить в том случае, когда неизвестное входит только в подмодульное выражение.

Тригонометрические уравнения с модулем

При этом обычно нет надобности исследовать знак этого выражения, так как его значение ограничивается конкретными числами. Выражение, модуль которого равен 8, может принимать только два значения: Применим это утверждение к решению уравнения: Выбранный способ решения не приводит к появлению посторонних корней. Решением уравнения может оказаться не конечный набор чисел, а непрерывный промежуток.

Кроме того, вы можете включать точку, разделяющую интер- 5 валы, в любой из соседних промежутков если она не является решением уравнения, то ее включение в выбранный интервал не изменит набора корней, а если является, то этот корень обязательно получится в каждом из уравнений, к которым сводится исходное уравнение на соседних интервалах, и, соответственно, войдет в ответ.

Раскроем на каждом интервале оба модуля с учетом знака подмодульных выражений: Найденный корень располагается на заданном интервале, следовательно, входит в ответ. Точка 0 не включена в интервал, поэтому корень оказался посторонним.

Тригонометрические уравнения с модулем

Видим, что на этом промежутке уравнение превратилось в тождество, то есть его решением является любое значение х из рассматриваемого промежутка.

Неравенства с модулем Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки границами этих промежутков являются нули подмодульных выраженийа затем неравенство решается на каждом из промежутков. Рассмотрим неравенство f x g x. Значит, если x является решением, то для него g x 0, и согласно 6 геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе g x f x g x. Расставим знаки этих выражений на полученных интервалах: Последовательно решим три системы неравенств: Рассмотрим каждый случай отдельно: Итак, решением для этого случая является интервал 1 1.

Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.

тригонометрические неравенства под знаком модуля

Решение последнего неравенства интервал -4, 3. Таким образом, решение данного неравенства сводится к решению двойного неравенства: Расставим знаки подмодульного выражения в каждом из трех полученных промежутков. Решение неравенства сводится, таким образом, к решению совокупности систем: Таким обра- Решение первой системы: Рассмотрим эти случаи отдельно: Окончательным ответом будет объединение полученных решений.

Решение неравенств с модулем

Наконец, останется лишь пересечь решения этих двух самостоятельных выражений — и всё, мы получим окончательный ответ. Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции.

И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. При этом варианты объединены квадратной скобкой, то есть перед нами совокупность двух требований. Обратите внимание ещё раз: Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!

Математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Решение уравнений и неравенств, содержащих модули

Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда: Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: Разница между пересечением и объединением множеств В переводе на русский это означает следующее: Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.

Да ничего — всё то же. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств: К сожалению, корни там будут не оч: Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: И вот тут нас ждёт подстава.

  • Тригонометрическое уравнение с модулем
  • Математика
  • Тема 15 «Уравнения и неравенства с модулем».

От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ. Случай некрасивых корней Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств. Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный и очень серьёзный урок. А мы идём. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.

Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни: Но это совсем другая история это как бы иррациональные уравненияпоэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач: Сразу заметим две вещи: Точки на числовой прямой будут выколоты. Обе стороны неравенства заведомо неотрицательны это свойство модуля: Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов: Дальше можно перенести всё вправо и расписать разность квадратов.

Переходим от неравенства к уравнению: Избавление от знака модуля Напомню для особо упоротых: И закрашиваем области, требуемые в том же неравенстве. Ну вот и всё. Делаем всё то же. Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий. Ответ — целый интервал Ответ: Небольшое замечание насчёт последней задачи.

тригонометрические неравенства под знаком модуля

Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.

Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке. А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.: Метод перебора вариантов А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска?

Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так: